In diesem Abschnitt werden ¨ahnlic he Aussagen im Fall skalarwertiger Funktionen mehrerer Variabler hergeleitet. Sei f: Rn! Definition 11.2 (Strikte) Lokale Minima und Maxima. Extrema von Funktionen mehrerer Variabler, stationäre Punkte. Wir bilden die partiellen Ableitungen: mx( )x y p, , = 3 x − 2 … Z. Beispiel 2: Flying Mantas Bei den folgenden Funktionen ist p ein Parameter (also eine dritte Variable). Im eindimensionalen Fall, also bei f: R! Dafür bedient man sich sogenannter B. Temperatur … Lokale Extrema ohne Nebenbedingungen Lokale Extrema mit Nebenbedingungen Fakult at Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 2. mehrerer reeller Variabler Bei der Bestimmung der Extrema von (difierenzierbaren) Funktionen f: Rn! R ist es sinnvoll, zuerst jene Stellen zu bestimmen, an denen ub˜ erhaupt ein Extremum auftreten kann. Maximum bzw. Funktionsbegri Di erenzialrechnung Anwendungen Beispiele Darstellung Schnitte Beispiel: Temperaturverteilung im Raum Physikalischen, technischen und wirtschaftwissenschaftlichen Funktionen h angen h au g von mehreren Variablen ab. Extrema von Funktionen mit 2 Variablen (Facharbeit Jg. 12) im Mathe-Forum für Schüler und Studenten Antworten nach dem Prinzip Hilfe zur Selbsthilfe Jetzt Deine Frage im Forum stellen! Für Funktionen in zwei Variablen erhalten wir folgende Bedi ngung: Sei x0 ein stationärer Punkt von f, und M 1 und M 2 die Hauptminoren von H f(x0). Dreidimensionale Funktionen können mit einem Trick jedoch auch in einem zweidimensionalen Koordinatensystem dargestellt werden. R, war ja die entsprechende Bedingung die, dass f0(x0) = 0 . –2 0 2 4 x –4 –2 0 2 4 y 0 2 4 Fig.1 Wir wollen uns diesen Satz plausibel machen und betrachten hierzu alle Kurven, die sich als Schnitt der Fl¨ache mit Ebenen ergeben, die senkrecht zur xy-Ebene durch die Stelle (x0,y0) verlaufen. m , ,( )x y p = x3 + − y3 p ( )x y + 5 p Hier ist nicht so ohne Weiteres zu erkennen, wo lokale Extrema liegen (und ob es solche überhaupt gibt). Zurück: Gradient und Funktionsverlauf Aufwärts: Kurseinheit 12: Funktionen Weiter: Höhere Ableitungen Extrema von Funktionen mehrerer Variabler, stationäre Punkte Ist eine (skalarwertige) Funktion von Variablen, d.h. so ist die Frage nach ihrem Extremum, d.h. Satz. Wenn ein Extremum vorliegt, so gilt dies sicherlich auch fur die Schnittkurven in¨ x- und y-Richtung, d.h. die Während Funktionen der Form `y=f(x)` meistens einfach in ein Koordinatensystem skizziert werden können, wird das bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen schon schwieriger.

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